单样本T检验

单样本平均数的检验使用 T 检验，用样本的标准差 $s$ 来代替总体标准差 $\sigma$

可检验的东西

检验一个样本的平均数是否显著不同于某个已知的或假设的总体平均数，我们这组样本的平均值，和公认的标准值（或理论值、历史值）相比，有没有本质区别

检验步骤

1. 明确检验问题和假设
   • 研究问题：问，可否认为大一学生平均心跳为 80 次/分钟
   • 零假设（$H_0$）：$\mu =80$（即假设成立，可以认为平均心跳为 80 次/分钟）
   • 备择假设（$H_1$）: $\mu \ne 80$（即假设不成立，不能认为平均心跳为 80 次/分钟）
2. 确立显著性水平（$\alpha$） 即犯错的概率，如果 $\alpha =0.05$，并且我们拒绝了零假设，那我们错误地拒绝了零假设的概率不高于 5%（即原本零假设是对的，但是我的错误地拒绝了它） 反之，假如我们接受了零假设，那我们有 $\beta$ 的概率错误地接受了零假设（即原本零假设是错的，但是我们错误地接受了它）
3. 计算统计量 T 统计量的计算公式为：

$$t=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$$

其中：

• $\overline{x}$：样本均值
• $s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x-x_i{)}^2}$：样本标准差
• $n$：样本数
• $t$：T 统计量

4. 自由度（$df$）

$$df=n-1$$

5. 判断 $H_0$ 的拒绝域 根据题目要求，判断是单尾还是双尾，比如说小于（即左尾）；大于（即右尾）；是否等于（即双尾） 一般会给出对应自由度的 t 值，比如 $t_{6,0.025}=2.447$ ，对照 t 分布的图进行判断即可
6. 结论 接受零假设的时候可以直接说；但是拒绝的时候，需要说明犯第一类错误的概率为 $\alpha$

例题

例一：7名大一学生心跳为 85、 78、 76、 75、 75、 90、73次/分钟，问，可否认为大一学生平均心跳为80次 / 分钟 ? （$t_{6,0.025}=2.447$）

解：

1. 假设：

$$H_0:\mu =80$$$$H_A:\mu \ne 80$$

2. 显 著 性 水 平 :

$$a=0.05$$

3. $\sigma$ 未知 , 使用t检验，已计算

$$\bar{x}=78.85$$$$s=6.25$$$$t=\frac{\bar{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}=\frac{78.85-80}{6.25/2.65}=-0.483$$

4. $H_0$ 的拒绝域：

由题意可得为双尾检验，当 $|t|>t_{6,0.025}$ 的时候拒绝原假设

5. 总结

$|t|=0.483>t_{6,0.025}$，故无法拒绝原假设，即接受