成对样本的T检验

从单样本到成对

单样本 T 检验的通用公式：

$$t=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}$$

其中：

• $\overline{x}$：样本均值
• ${\mu }_0$：零假设下假定的总体均值
• $s$：样本标准差
• $n$：样本量
• 自由度 $df=n-1$

应用到成对样本 T 检验： 我们不再直接处理原始的两组数据 $X_A$ 和 $X_B$，而是处理它们的差值 $d_i=X_{iA}-X_{iB}$（或 $d_i=X_{iB}-X_{iA}$，方向需一致且符合研究假设）。

1. 样本均值 ($\overline{x}$)： 变成了差值样本的均值 $\overline{d}$。

   $$\overline{d}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{d}_i$$

2. 零假设下的总体均值 (${\mu }_0$)： 在成对 T 检验中，我们的零假设 $H_0$ 是：两种处理没有差异，即差值的总体均值 ${\mu }_d=0$。所以，

   $${\mu }_0=0$$

3. 样本标准差 ($s$)： 变成了差值样本的标准差 $s_d$。它衡量的是成对数据间差异 ($d_i$) 的离散程度。

   $$s_d=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(d_i-\overline{d}{)}^2}$$

4. 样本量 ($n$)： 这里 $n$ 指的是配对的对子数，也就是有多少对数据（或者有多少个个体提供了前后/左右/配对的两组数据）。例如，10 个病人服药前后的血压数据，$n=10$（是 10 对数据，不是 20 个测量值）。

5. 自由度 ($df$)： 和单样本 T 检验一样，计算标准差 $s_d$ 时我们使用了 $n-1$ 个自由度（用样本均值 $\overline{d}$ 估计了总体均值 ${\mu }_d$）。所以，

   $$df=n-1$$

因此，成对样本 T 检验的公式直接套用单样本 T 检验公式，代入以上对应项：

$$t=\frac{\overline{d}-{\mu }_0}{s_d/\sqrt{n}}=\frac{\overline{d}-0}{s_d/\sqrt{n}}=\frac{\overline{d}}{s_d/\sqrt{n}}$$

总结公式中的对应关系：

单样本 T 检验项	在成对 T 检验中的含义	成对 T 检验符号
$\overline{x}$	差值 ($d_i$) 的样本均值	$\overline{d}$
${\mu }_0$	零假设下的差值总体均值 (恒为 0)	0
$s$	差值 ($d_i$) 的样本标准差	$s_d$
$n$	配对的对子数 (个体数)	$n$
$df$	自由度 (恒为 $n-1$)	$n-1$

所以，我们可以用单样本来理解成对 T 检验：

• ${\mu }_0=0$
• $n$ 是配对的对子数
• 自由度是 $n-1$
• $s$ 就是 $s_d$，即差值 $d_i$ 的样本标准差。

什么是成对

每一对数据都来自同一个个体（或匹配的个体）。例如：

• 同一个病人服药前和服药后的血压
• 同一片叶子左边（处理 A）和右边（处理 B）的长度
• 同一个实验小鼠在训练前和训练后通过迷宫的时间
• 同一块土地使用传统肥料和新型肥料的产量（分成两半使用不同肥料）

成对数据的处理

患者编号	服药前血压 (mmHg)	服药后血压 (mmHg)	差值 d = 后 - 前
1	160	150	-10
2	165	155	-10
3	170	165	-5
4	155	145	-10
5	162	155	-7
6	158	152	-6
7	172	168	-4
8	166	158	-8
9	159	151	-8
10	164	157	-7

我们只关心里面的 $d$，需要求出里面的 $\overline{d}$ 和 $S_d$

$$\overline{d}=\frac{\sum _{i=1}^n{d}_i}{n}$$

需要注意的是，其中的 $n$ 就是配对数

$$S_d=\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n(d_i-\overline{d}{)}^2}{n-1}}$$

自由度的确定

$$df=n-1$$

其中 $n$ 也是配对数