双因素方差分析

原假设

三类原假设的定义

主效应 A 的原假设（$H_{01}$）

在所有 A 因素水平下，因变量的总体均值相等

$$H_{01}:{\mu }_{A1}={\mu }_{A2}=\cdots ={\mu }_{Aa}(a\mathrm{为}A\mathrm{的}\mathrm{水}\mathrm{平}\mathrm{数})$$

主效应 B 的原假设（$H_{02}$）

在所有 B 因素水平下，因变量的总体均值相等

$$H_{01}:{\mu }_{B1}={\mu }_{B2}=\cdots ={\mu }_{Bb}(b\mathrm{为}B\mathrm{的}\mathrm{水}\mathrm{平}\mathrm{数})$$

交互作用 AB 的原假设（$H_{03}$）

A 对因变量的效应不依赖于 B 的水平（或反之）

$$H_{03}:(\alpha \beta {)}_{ij}=0\mathrm{对}\mathrm{所}\mathrm{有}i,j$$

拒绝原假设的含义

假设类型	拒绝 $H_0$ 的结论
主效应A	A因素各水平效果存在显著差异
主效应B	B因素各水平效果存在显著差异
交互作用	A与B共同作用产生非叠加效应

线性回归视角

模型假设

$$y_{ijk}=\mu +{\alpha }_i+{\beta }_j+(\alpha \beta {)}_{ij}+{ϵ}_{ijk}$$

其中：

• $y_{ijk}$：是在因素A的第i个水平、因素B的第j个水平下的第k次观测值
• $\mu$：总体平均值
• ${\alpha }_i$：即 A 因素在第 $i$ 个水平下的主效应
• ${\beta }_j$：即 B 因素在第 $j$ 个水平下的主效应
• $(\alpha \beta {)}_{ij}$：即 A 因素和 B 因素在水平 $i$ 和水平 $j$ 的交互作用
• ${ϵ}_{ijk}$：随机误差项，符合正态分布
• $i$：行
• $j$：列

	$B_1$（25 度）	$B_2$（30 度）	和
$A_1$（青霉素）	15、18、21	30、33、36
$A_2$（链霉素）	24、27、30	12、15、18
和	$T_{i.}$

分解变异（计算平方和）

总平方和（SST）：所有数据与总体平均数 $\mu$ 的偏差

$$S{S}_T=\sum _{i=1}^a\sum _{j=1}^b\sum _{k=1}^n{(y_{ijk}-{\overline{y}}_{...})}^2$$

• $y_{ijk}$:因子 A 的第 $i$ 水平、因子 B 的第 $j$ 水平下，第 $k$ 个观测值
• ${\overline{y}}_{...}:$ 全体观测值的平均值 (即总平均 $\mu$)

A 组间平方差（SSA）：A 组间均值与总体平均数 $\mu$ 的偏差

$$S{S}_A=bn\sum _{i=1}^a{({\overline{y}}_{i..}-{\overline{y}}_{...})}^2$$

B 组间平方差（SSB）：B 组间均值与总体平均数 $\mu$ 的偏差

$$S{S}_B=an\sum _{j=1}^b{({\overline{y}}_{\cdot j\cdot }-{\overline{y}}_{...})}^2$$

AB 组间平方差（SSAB）：AB 两因素组合的组均值与因子 A、B 的主效应之和之间的偏差平方和

$$S{S}_{AB}=n\sum _{i=1}^a\sum _{j=1}^b{({\overline{y}}_{ij\cdot }-{\overline{y}}_{i\cdot \cdot }-{\overline{y}}_{\cdot j\cdot }+{\overline{y}}_{\cdot \cdot })}^2$$

误差平方和（SSE）：组内的数据和组均值之间的误差

$$S{S}_E=\sum _{i=1}^a\sum _{j=1}^b\sum _{k=1}^n{(y_{ijk}-{\overline{y}}_{ij\cdot })}^2$$

上述均满足：

$$SST=SSA+SSB+SSAB+SSE$$

计算均方与 F 统计量

均方

来源	平方和（SS）	自由度（df）	均方（MS = SS/df）
因子 A	$S{S}_A$	$a-1$	$M{S}_A=\frac{S{S}_A}{a-1}$
因子 B	$S{S}_B$	$b-1$	$M{S}_B=\frac{S{S}_B}{b-1}$
交互作用 AB	$S{S}_{AB}$	$(a-1)(b-1)$	$M{S}_{AB}=\frac{S{S}_{AB}}{(a-1)(b-1)}$
误差（E）	$S{S}_E$	$ab(n-1)$	$M{S}_E=\frac{S{S}_E}{ab(n-1)}$
总体（T）	$S{S}_T$	$abn-1$	—

$$abn-1=(a-1)+(b-1)+(a-1)(b-1)+ab(n-1)$$

F 统计量

$$F_A=\frac{M{S}_A}{M{S}_E},F_B=\frac{M{S}_B}{M{S}_E},F_{AB}=\frac{M{S}_{AB}}{M{S}_E}$$

双因素 ANOVA 表标准格式

变异来源	自由度 (df)	平方和 (SS)	均方 (MS = SS/df)	F 值（用于显著性检验）
因子 A	$a-1$	$S{S}_A$	$M{S}_A=\frac{S{S}_A}{a-1}$	$F_A=\frac{M{S}_A}{M{S}_E}$
因子 B	$b-1$	$S{S}_B$	$M{S}_B=\frac{S{S}_B}{b-1}$	$F_B=\frac{M{S}_B}{M{S}_E}$
交互作用 AB	$(a-1)(b-1)$	$S{S}_{AB}$	$M{S}_{AB}=\frac{S{S}_{AB}}{(a-1)(b-1)}$	$F_{AB}=\frac{M{S}_{AB}}{M{S}_E}$
误差（组内）	$ab(n-1)$	$S{S}_E$	$M{S}_E=\frac{S{S}_E}{ab(n-1)}$	—
总体（总变异）	$abn-1$	$S{S}_T$	—	—

结论

和单因素检验一样，要根据 F 分布密度曲线来下结论，一般来说是右侧单尾检验

不过得先看交互作用，如果交互作用比较明显，则需要做简单检验

快速计算公式（双因子正交设计）

校正因子（CT）

$$CT=\frac{T^2}{abn}$$

其中：

• $T=\sum y_{ijk}$ 是总和
• $abn$ 是总观测数（a：A 水平数，b：B 水平数，n：每组重复数）

总平方和（SST）

$$SST=\sum y_{ijk}^2-CT$$

因子 A 的平方和（SSA）

$$SSA=\frac{1}{bn}\sum _{i=1}^a{T}_{i\cdot \cdot }^2-CT$$

其中 $T_{i\cdot \cdot }$ 是因子 A 第 $i$ 水平上的所有数据之和。

因子 B 的平方和（SSB）

$$SSB=\frac{1}{an}\sum _{j=1}^b{T}_{\cdot j\cdot }^2-CT$$

交互作用平方和（SSAB）

$$S{S}_{AB}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^a\sum _{j=1}^b{T}_{ij\cdot }^2-SSA-SSB-CT$$

误差平方和（SSE）

$$SSE=SST-SSA-SSB-SSAB$$