卡方统计

卡方统计量

卡方统计量（Chi-square statistic）是一种用于检验分类数据（categorical data）的假设检验工具。简单来说，它帮助我们在表格数据中检查“观察到的频数”与“期望的频数”之间是否有显著差异。分类数据就是将事物分成几个类别，比如性别（男/女）、疾病状态（患病/健康）或基因型（AA/Aa/aa）

• 核心思想：如果观察到的数据与期望的数据相差很大，说明可能发生了“不寻常”的事情（比如变量之间有关联），而不是随机巧合

$${\chi }^2=\sum \frac{(O_i-E_i{)}^2}{E_i}$$

其中：

• $O_i$ 是观察到的频数
• $E_i$ 是期望的频数

常用于两种应用：

• 独立性检验：检查两个分类变量是否相关，如吸烟与肺癌发生的概率
• 拟合优度检验：检查样本数据是否符合理论分布，如孟德尔定律

卡方的计算

常用方法列联表 ${\chi }^2$ 检验

适用条件：

• 样本数较大（$n>40$）
• 期望频数较大（$E_i>5$）

2 x 2 列联表

• 自由度恒为 $df=(2-1)\times (2-1)=1$。
• 计算简单，且存在专用公式 (可直接用四格表快速计算):

	列1	列2	Total
行1	a	b	a+b
行2	c	d	c+d
Total	a+c	b+d	n

每个单元格的期望为：

$$E_{11}=\frac{(a+b)(a+c)}{n}$$$$E_{12}=\frac{(a+c)(c+d)}{n}$$$$E_{21}=\frac{(a+b)(b+d)}{n}$$$$E_{22}=\frac{(b+d)(c+d)}{n}$$

计算卡方值为：

$${\chi }_{11}^2=\frac{(O_{11}-E_{11}{)}^2}{E_{11}}$$

同理，将其全部加和起来，即可得到 ${\chi }^2$ 总

也可用公式进行计算：

$${\chi }^2=\frac{(ad-bc{)}^2\cdot n}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$$

广义的 $r\times c$ 列联表检验

当两个分类变量的类别数扩展时 (如基因型有3种、疾病严重程度分4级),就需用$r\times c$ 列联表的卡方检验：

• 自由度：$df=(r-1)\times (c-1)$

1. 计算每个单元格的期望频数 $E_{ij}=\frac{(\text{行i总计})\times (\text{列j总计})}{n}$ 计算步骤与2×2表完全一致

2. 计算卡方值 ${\chi }^2=\sum \frac{(O_{ij}-E_{ij}{)}^2}{E_{ij}}$

3. 查表判断显著性

$2\times 2$ 表的特殊处理方法

$\mathrm{当}2\times 2$表数据不满足期望频数$⩾5$时，需调整方法：

1. 耶茨连续性校正(Yates'correction):

$${\chi }_{\text{校正}}^2=\sum \frac{(|O_i-E_i|-0.5{)}^2}{E_i}$$

适用于 $n\ge 40$ 但存在 $1\le E_i<5$ 的情况。

2. Fisher精确检验(Fisher's Exact Test)：

• 直接计算当前观察频数及更极端情况出现的精确概率(基于超几何分布)

• 适用于 $n<40$ 或任意 $E_i<1$

  例如：在药物临床试验中，样本量小但需判断“用药组”和“对照组”的生存率差异

可以直接使用这个公式进行计算

$$P=\frac{(a+b)!(c+d)!(a+c)!(b+d)!}{n!a!b!c!d!}$$